Если кому любопытно, то по крайней мере 8.3.13.1644 не шлет тело в GET, даже если его установить, что в общем-то и ожидалось.
Процедура ТестТелоГет(Команда)
ХТТПСоединение = Новый HTTPСоединение("yandex.ru",,,,,,Новый ЗащищенноеСоединениеOpenSSL());
ХТТПЗапрос = Новый HTTPЗапрос("/search/?text=test");
ХТТПЗапрос.УстановитьТелоИзСтроки("text=This is a body");
ХТТПСоединение.Получить(ХТТПЗапрос);
ХТТПСоединение.ОтправитьДляОбработки(ХТТПЗапрос);
КонецПроцедуры
GET https://yandex.ru/search/?text=test HTTP/1.1
Host: yandex.ru
User-Agent: 1C+Enterprise/8.3
Accept: */*
POST https://yandex.ru/search/?text=test HTTP/1.1
Host: yandex.ru
User-Agent: 1C+Enterprise/8.3
Accept: */*
Content-Type: application/octet-stream
Content-Length: 19
text=This is a body